Dr. Dudi Duta Akbar

Metodologi Structural Break Bai–Perron: Pendekatan Berbasis Model dan Persamaan

—

by

dudidutaakbar@gmail.com
in ,

(Methodological Notes with Model-Based Exposition)

A. Kerangka Umum Model (General Modeling Framework)

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Pendekatan Bai–Perron berangkat dari model regresi linier dengan parameter yang dapat berubah antar periode (regime). Perubahan tersebut direpresentasikan oleh structural break pada titik waktu yang tidak diketahui.

Model umum yang digunakan adalah:yt=xt′β+zt′δj+ut,t=Tj−1+1,…,Tjy_t = x_t’ \beta + z_t’ \delta_j + u_t, \quad t = T_{j-1}+1,\dots,T_j

dengan:

  • j=1,…,m+1j = 1,\dots,m+1menunjukkan regime
  • TjT_j adalah break date ke-jj, dengan T0=0T_0 = 0 dan Tm+1=TT_{m+1} = T

Model ini memungkinkan m break struktural yang membagi sampel menjadi m+1 segmen.

🇬🇧 English

The Bai–Perron methodology is built on a linear regression framework with regime-dependent parameters. Structural changes are represented by unknown break points that divide the sample into multiple regimes.

The general model is specified as:yt=xt′β+zt′δj+ut,t=Tj−1+1,…,Tjy_t = x_t’ \beta + z_t’ \delta_j + u_t, \quad t = T_{j-1}+1,\dots,T_j

where:

  • j=1,…,m+1j = 1,\dots,m+1 indexes regimes
  • TjT_j denotes the unknown break dates

This framework allows for multiple structural breaks in regression relationships.

B. Pure vs Partial Structural Change Models

🇮🇩 Bahasa Indonesia

1. Pure Structural Change

Jika semua parameter berubah antar regime:yt=zt′δj+uty_t = z_t’ \delta_j + u_t

Tidak ada parameter yang dipaksakan konstan. Model ini cocok untuk:

  • perubahan rezim kebijakan besar
  • krisis struktural

2. Partial Structural Change

Jika hanya sebagian parameter berubah:yt=xt′β+zt′δj+uty_t = x_t’ \beta + z_t’ \delta_j + u_t​

  • β\beta → parameter tetap (common coefficients)
  • δj\delta_j → parameter spesifik regime

Model ini lebih realistis dalam analisis ekonomi makro dan kebijakan moneter.

🇬🇧 English

1. Pure Structural Change

All coefficients vary across regimes:yt=zt′δj+uty_t = z_t’ \delta_j + u_t

This model is suitable for analyzing full regime shifts.

2. Partial Structural Change

Only a subset of coefficients varies:yt=xt′β+zt′δj+uty_t = x_t’ \beta + z_t’ \delta_j + u_t

  • β\beta: regime-invariant parameters
  • δj\delta_j​: regime-specific parameters

This specification is widely used in applied macroeconomic models.

C. Estimasi Break Date: Masalah Optimisasi Global

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Break date diestimasi dengan meminimalkan jumlah kuadrat residual (SSR) secara global:(T^1,…,T^m)=arg⁡min⁡(T1,…,Tm)∑j=1m+1∑t=Tj−1+1Tj(yt−xt′β−zt′δj)2(\hat T_1,\dots,\hat T_m) = \arg\min_{(T_1,\dots,T_m)} \sum_{j=1}^{m+1} \sum_{t=T_{j-1}+1}^{T_j} \left(y_t – x_t’\beta – z_t’\delta_j\right)^2

Dengan kendala panjang minimum segmen:Tj−Tj−1≥hT_j – T_{j-1} \ge h

Tujuannya adalah mencegah segmen terlalu pendek yang tidak teridentifikasi secara statistik.

🇬🇧 English

Break dates are estimated by solving a global least squares minimization problem:(T^1,…,T^m)=arg⁡min⁡(T1,…,Tm)∑j=1m+1∑t=Tj−1+1Tj(yt−xt′β−zt′δj)2(\hat T_1,\dots,\hat T_m) = \arg\min_{(T_1,\dots,T_m)} \sum_{j=1}^{m+1} \sum_{t=T_{j-1}+1}^{T_j} \left(y_t – x_t’\beta – z_t’\delta_j\right)^2

subject to the trimming constraint:Tj−Tj−1≥hT_j – T_{j-1} \ge h

This ensures sufficient observations within each regime.

D. Dynamic Programming: Algoritma Inti

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Untuk menghindari eksplorasi kombinasi break yang eksplosif, Bai–Perron menggunakan dynamic programming dengan rekursi:SSR(m,T)=min⁡j∈[mh, T−h]{SSR(m−1,j)+SSR(j+1,T)}SSR(m,T) = \min_{j \in [mh,\,T-h]} \left\{ SSR(m-1,j) + SSR(j+1,T) \right\}

Maknanya:

  • SSR optimal dengan mm break di TT observasi
  • dibangun dari solusi optimal m−1m-1 break sebelumnya

Pendekatan ini menjamin global minimum SSR.

🇬🇧 English

To avoid combinatorial explosion, Bai–Perron employ dynamic programming with the following recursion:SSR(m,T)=min⁡j∈[mh, T−h]{SSR(m−1,j)+SSR(j+1,T)}SSR(m,T) = \min_{j \in [mh,\,T-h]} \left\{ SSR(m-1,j) + SSR(j+1,T) \right\}

This approach ensures that the global minimizer of the objective function is obtained efficiently.

E. Estimasi Partial Structural Change (Iterative Scheme)

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Karena β\beta bersifat common, estimasi dilakukan secara iteratif:

  1. Tetapkan β(0)\beta^{(0)}
  2. Estimasi break dan δj\delta_jδj​ dari:

yt−xt′β(0)=zt′δj+uty_t – x_t’\beta^{(0)} = z_t’\delta_j + u_t

  1. Dengan break tetap, estimasi ulang:

(β,δj)=arg⁡min⁡SSR(\beta,\delta_j) = \arg\min SSR

  1. Ulangi hingga konvergen

🇬🇧 English

Because β\betaβ is common across regimes, estimation proceeds iteratively:

  1. Initialize β(0)\beta^{(0)}
  2. Estimate break dates and δj\delta_jδj​ from:

yt−xt′β(0)=zt′δj+uty_t – x_t’\beta^{(0)} = z_t’\delta_j + u_t

  1. Re-estimate all parameters conditional on break dates
  2. Iterate until convergence

F. Distribusi Asimtotik Break Date

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Break fraction memiliki sifat:T(λ^i−λi0)=Op(1),λi=TiTT(\hat \lambda_i – \lambda_i^0) = O_p(1), \quad \lambda_i = \frac{T_i}{T}

Distribusi limit:T^i−Ti0⇒arg⁡max⁡s[Δi′Qi1/2W(s)−12∣s∣]\hat T_i – T_i^0 \Rightarrow \arg\max_s \left[ \Delta_i’ Q_i^{1/2} W(s) – \frac{1}{2} |s| \right]

yang digunakan untuk membangun confidence interval break date.

🇬🇧 English

The break fraction satisfies:T(λ^i−λi0)=Op(1)T(\hat \lambda_i – \lambda_i^0) = O_p(1)

with asymptotic distribution:T^i−Ti0⇒arg⁡max⁡s[Δi′Qi1/2W(s)−12∣s∣]\hat T_i – T_i^0 \Rightarrow \arg\max_s \left[ \Delta_i’ Q_i^{1/2} W(s) – \frac{1}{2} |s| \right]

This result forms the basis for constructing confidence intervals for break dates.

G. Penutup Metodologis (Methodological Takeaway)

🇮🇩 Bahasa Indonesia

Metode Bai–Perron bukan sekadar teknik pencarian break, tetapi kerangka optimisasi berbasis model yang:

  • menjaga konsistensi estimasi
  • memungkinkan banyak break
  • mendukung inferensi statistik formal

🇬🇧 English

The Bai–Perron methodology represents a model-based optimization framework that:

  • accommodates multiple structural breaks
  • ensures global optimality
  • supports formal statistical inference