Data

Struktur, variabel, periode, dan sumber

1.1 Struktur data panel (besar n, sedang T)

GDFM dirancang untuk situasi di mana jumlah seri (n) besar, bisa lebih besar dari panjang waktu (T), sehingga VAR/VARMA menjadi tidak efisien karena terlalu banyak parameter. The Generalized Dynamic Factor …

1.2 Contoh aplikasi empiris dalam paper (EURO area)

Paper menerapkan GDFM untuk membangun coincident indicator Euro area sebagai common component dari GDP dalam panel multi-negara & multi-variabel. The Generalized Dynamic Factor …

Panel data (Step 1 dalam paper):

• Frekuensi: kuartalan
• Periode: 1985–1996
• Cakupan: negara-negara EURO zone (kecuali Luxembourg)
• Jumlah seri: $n=63$n=63
• Jumlah waktu: $T=51$T=51
• Transformasi: log & differencing (kecuali spread), sentiment dalam log, lalu dinormalisasi dengan membagi standar deviasi. The Generalized Dynamic Factor …

1.3 Variabel dan sumber data (Table “The Data”)

Tujuh indikator makro yang dipakai:

1. GDP riil (seasonally adjusted, harga konstan 1990)
2. Consumption (private final consumption expenditure, s.a., harga konstan 1990)
3. Investment (gross fixed capital formation, s.a., harga konstan 1990)
4. CPI (base year 1990)
5. Spread = yield government bond – Treasury bill/money market rate (% per tahun)
6. Sentiment indicator (economic sentiment indicator)
7. Industrial Production (I.P.) (s.a., index base 1990)

Sumber data resmi yang dicantumkan paper:

• OECD: GDP, consumption, investment (dengan beberapa negara tertentu menggunakan sumber IMF)
• IMF: (terutama untuk beberapa seri/negara, termasuk spread & I.P. yang banyak berasal dari IMF)
• European Commission, DG II: sentiment indicator The Generalized Dynamic Factor …

---

2) Model: persamaan inti GDFM

2.1 Dekomposisi “common” vs “idiosyncratic”

Untuk setiap seri $x_{it}$xit​ (seri ke-i pada waktu t), paper mendefinisikan:$$x_{it}=\underbrace{\sum_{j=1}^{q} b_{ij}(L)\,u_{jt}}_{\text{common component } x_{it}^{c}}+\underbrace{\xi_{it}}_{\text{idiosyncratic}} \tag{1}$$

• $u_{jt}$​ = common shocks (jumlahnya kecil, $q \ll n$q≪n)
• $b_{ij}(L)$ = filter dinamis satu sisi (lag polynomial / MA∞) → memungkinkan respons yang kaya (AR/MA)
• $\xi_{it}$= komponen idiosinkratik (boleh saling berkorelasi lintas-i, tidak dipaksa ortogonal) The Generalized Dynamic Factor …

Keunikan GDFM (dibanding model faktor klasik):

• Dinamis: common component boleh MA tak hingga (fleksibel untuk dinamika).
• Idiosinkratik tidak harus orthogonal antarseri (lebih realistis untuk data makro/keuangan). The Generalized Dynamic Factor …

---

3) Identifikasi: kapan common component bisa “dipisahkan”?

Identifikasi dalam paper berbasis eigenvalue spektral (frequency domain):

• Definisikan $S_n(\omega)$ sebagai matriks spectral density dari vektor $x_{nt}=(x_{1t},…,x_{nt})’$.
• Misal $\lambda_{n1}(\omega)\ge \lambda_{n2}(\omega)\ge…$ adalah dynamic eigenvalues.

Kondisi kunci:

1. Idiosyncratic eigenvalue teratas dibatasi (bounded) → korelasi idiosinkratik “terbatas” secara agregat. The Generalized Dynamic Factor …
2. q eigenvalue common divergen saat $n \to \infty$ (hampir di semua frekuensi) → sinyal common “menyebar” luas di banyak seri. The Generalized Dynamic Factor …

Implikasi penting (Proposition 1):

• q eigenvalue pertama dari $S_n(\omega)$ divergen, sedangkan eigenvalue ke-(q+1) tetap bounded → dasar penentuan jumlah faktor $q$q. The Generalized Dynamic Factor …

---

4) Estimasi: langkah prosedural + persamaan estimator

Inti metode estimasi GDFM adalah: estimasi common component sebagai proyeksi seri pada ruang yang dibentuk oleh dynamic principal components (DPC) dari data.

4.1 Dynamic Principal Components (konsep)

DPC dibangun dari eigenvector spektral $p_{nj}(\omega)$ dan menghasilkan komponen utama dinamis yang saling ortogonal pada semua lead/lag. The Generalized Dynamic Factor …

4.2 Formula proyeksi common component (populasi)

Paper menunjukkan bahwa proyeksi:$$x^{c}_{it,n}=K_{ni}(L)\,x_{nt} \tag{2}$$

dengan filter:$$K_{ni}(\omega)=\tilde{p}_{n1,i}(\omega)p_{n1}(\omega)+\cdots+\tilde{p}_{nq,i}(\omega)p_{nq}(\omega)$$

akan konvergen ke common component “sejati” saat $n\to\infty$. The Generalized Dynamic Factor …

4.3 Estimasi spektral dari data sampel (finite T)

Karena $S_n(\omega)$Sn​(ω) tidak diketahui, paper mengestimasi spectral density memakai lag-window estimator (Bartlett window):$$\widehat{S}_n^{\,T}(\omega_h)=\sum_{k=-M}^{M}\widehat{\Gamma}_{nk}^{\,T}\,v_k\,e^{-ik\omega_h} \tag{8}$$

dengan:

• $\widehat{\Gamma}_{nk}^{\,T}$​ = sample autocovariance lag-k
• $v_k=1-\frac{|k|}{M+1}$ (Bartlett weights)
• $\omega_h=\frac{2\pi h}{2M+1}$​, $h=0,\dots,2M$ The Generalized Dynamic Factor …

4.4 Estimator filter $K_{ni}(L)$Kni​(L) (finite sample)

Setelah mendapatkan eigenvector pertama sampai q dari $\widehat{S}_n^{\,T}(\omega_h)$SnT​(ωh​), dibentuk:$$\widehat{K}_{ni}^{\,T}(\omega_h)=\tilde{p}^{\,T}_{n1,i}(\omega_h)p^{\,T}_{n1}(\omega_h)+\cdots+\tilde{p}^{\,T}_{nq,i}(\omega_h)p^{\,T}_{nq}(\omega_h)$$

Lalu koefisien filter time-domain diperoleh via inverse discrete Fourier transform, menghasilkan:$$\widehat{K}_{ni}^{\,T}(L)=\sum_{k=-M}^{M}\widehat{K}^{\,T}_{ni,k}L^k \tag{9}$$

dan common component sampel dihitung dengan filter terpotong (karena data hanya tersedia 1…T). The Generalized Dynamic Factor …

Catatan penting: paper menekankan penggunaan data bagian “tengah” (bukan boundary) agar efek truncation minimal, dan memberi syarat laju $M(T)$ agar konsisten. The Generalized Dynamic Factor …

---

5) Pemilihan jumlah faktor $q$

Paper menyatakan tidak ada uji formal yang “sempurna” dalam finite sample. Praktiknya:

• inspeksi gap antara eigenvalue ke-q dan ke-(q+1),
• atau ambang kontribusi varian (misalnya 5%) sebagai aturan praktis. The Generalized Dynamic Factor …

Dalam aplikasi Euro area, paper memilih q=3 berdasarkan kriteria eigenvalue/variance explained. The Generalized Dynamic Factor …

---

6) Output empiris: coincident indicator Euro area

Setelah common component GDP tiap negara diestimasi, indikator Euro area dibangun sebagai:

• weighted average common components GDP (bobot = level GDP). The Generalized Dynamic Factor …

---

English (short mirror) — Method & Data Summary

• Data: quarterly panel (1985–1996), 7 macro indicators across Euro countries, $n=63, T=51$; log-diff transforms (spread excluded), standardized; sources: OECD, IMF, EC DG II (sentiment). The Generalized Dynamic Factor …
• Model: $x_{it}=\sum_{j=1}^{q}b_{ij}(L)u_{jt}+\xi_{it}$​, allowing infinite MA dynamics and correlated idiosyncratic components. The Generalized Dynamic Factor …
• Estimation: estimate spectral density via Bartlett window (Eq. 8), extract dynamic eigenvectors, build $\widehat{K}_{ni}^{T}(L)$ (Eq. 9), and compute common components as projections onto leads/lags of dynamic principal components. The Generalized Dynamic Factor …