Dr. Dudi Duta Akbar

Generalized Dynamic Factor Model (GDFM): Implementation, Diagnostics, and Extensions

—

by

dudidutaakbar@gmail.com
in ,

Langkah Implementasi Operasional (Algorithmic Steps)

Bagian ini penting karena GDFM tidak bisa direplikasi hanya dengan regresi standar. Berikut alur estimasi sebagaimana diimplikasikan oleh Forni et al. (2000).

Step 1 — Pre-processing Data

Setiap seri xitx_{it} diperlakukan sebagai berikut:

  1. Transformasi stasioner
    • Log-difference untuk variabel level (GDP, Consumption, Investment, I.P., CPI)
    • Spread tidak didiferensiasi
  2. Seasonal adjustment (jika diperlukan)
  3. Standardization

x~it=xit−xˉiσi\tilde{x}_{it}=\frac{x_{it}-\bar{x}_i}{\sigma_i}

Tujuan standardisasi:
→ mencegah satu seri mendominasi spektrum hanya karena skala.

Step 2 — Estimasi Autocovariance Panel

Hitung sample autocovariance:Γ^nkT=1T∑t=k+1Txntxn,t−k′untuk ∣k∣≤M\widehat{\Gamma}_{nk}^{T} = \frac{1}{T} \sum_{t=k+1}^{T} x_{nt}x_{n,t-k}’ \quad \text{untuk } |k|\le M

dengan:

  • xnt=(x1t,...,xnt)′x_{nt}=(x_{1t},…,x_{nt})’
  • MM = truncation lag (dipilih sebagai fungsi dari TT).

Step 3 — Estimasi Spectral Density Matrix

Gunakan lag-window estimator (Bartlett window):S^n T(ωh)=∑k=−MMΓ^nk T(1−∣k∣M+1)e−ikωh\widehat{S}_n^{\,T}(\omega_h) = \sum_{k=-M}^{M} \widehat{\Gamma}_{nk}^{\,T} \left(1-\frac{|k|}{M+1}\right) e^{-ik\omega_h}

dengan:ωh=2πh2M+1,h=0,…,2M\omega_h=\frac{2\pi h}{2M+1},\quad h=0,\dots,2M

Makna ekonometrik:

  • Ini adalah estimasi korelasi lintas seri pada frekuensi tertentu,
  • memungkinkan pemisahan siklus jangka pendek vs panjang.

Step 4 — Dynamic Eigen-Decomposition

Untuk setiap ωh\omega_hωh​, lakukan dekomposisi:S^n T(ωh)=Pn(ωh)Λn(ωh)Pn′(ωh)\widehat{S}_n^{\,T}(\omega_h) = P_n(\omega_h)\Lambda_n(\omega_h)P_n'(\omega_h)

  • Ambil q eigenvalue terbesar
  • Simpan eigenvector dinamis:

pn1(ωh),…,pnq(ωh)p_{n1}(\omega_h),\dots,p_{nq}(\omega_h)

Inilah dasar Dynamic Principal Components (DPC).

Step 5 — Estimasi Filter Proyeksi Common Component

Estimator filter:K^ni T(ωh)=∑j=1qp~nj,i T(ωh) pnj T(ωh)\widehat{K}_{ni}^{\,T}(\omega_h) = \sum_{j=1}^{q} \tilde{p}^{\,T}_{nj,i}(\omega_h)\, p^{\,T}_{nj}(\omega_h)

Lalu inverse Fourier transform:K^ni T(L)=∑k=−MMK^ni,k TLk\widehat{K}_{ni}^{\,T}(L) = \sum_{k=-M}^{M} \widehat{K}_{ni,k}^{\,T}L^k

Step 6 — Estimasi Common Component

Common component untuk seri iii:x^it c=K^ni T(L) xnt=∑k=−MMK^ni,k T xn,t−k\widehat{x}_{it}^{\,c} = \widehat{K}_{ni}^{\,T}(L)\,x_{nt} = \sum_{k=-M}^{M} \widehat{K}_{ni,k}^{\,T}\,x_{n,t-k}

Idiosyncratic component:ξ^it=xit−x^it c\widehat{\xi}_{it} = x_{it}-\widehat{x}_{it}^{\,c}

8) Diagnostics dan Robustness Checks

8.1 Variance Decomposition

Hitung kontribusi common component:Sharei=Var(x^it c)Var(xit)\text{Share}_i = \frac{\text{Var}(\widehat{x}_{it}^{\,c})} {\text{Var}(x_{it})}

→ Digunakan untuk menguji apakah suatu seri benar-benar bersifat sistemik.

8.2 Stability terhadap Pilihan q

Lakukan estimasi untuk:q=1,2,3,4q=1,2,3,4

Periksa:

  • stabilitas pola common component,
  • perubahan turning points siklus.

8.3 Sensitivitas terhadap Bandwidth M

  • MM terlalu kecil → bias
  • MM terlalu besar → variance meningkat

Paper merekomendasikan M(T)→∞M(T)\to\infty.

8.4 Cross-Correlation of Idiosyncratic Components

Uji apakah:max⁡λ(Σξ)tetap bounded\max \lambda(\Sigma_{\xi}) \quad \text{tetap bounded}

Jika tidak → asumsi GDFM dilanggar (idiosyncratic terlalu “global”).

9) Interpretasi Faktor (Economic Meaning)

Penting dicatat:

Faktor dalam GDFM tidak diidentifikasi secara struktural.

Artinya:

  • faktor bukan “shock kebijakan”,
  • melainkan sumber fluktuasi bersama.

Interpretasi dilakukan ex post, misalnya:

  • korelasi dengan GDP,
  • korelasi dengan financial conditions,
  • respon terhadap krisis.

10) Keterbatasan Metodologis

  1. Tidak struktural
    → Tidak cocok untuk causal inference langsung.
  2. Berbasis large-n asymptotics
    → Jika jumlah seri kecil, keunggulan GDFM menurun.
  3. Komputasi intensif
    → Estimasi spektral + eigen-decomposition untuk setiap frekuensi.
  4. Interpretabilitas faktor terbatas
    → Perlu analisis tambahan (rotasi, proxy regression).

11) Ekstensi dan Perkembangan Modern

11.1 Two-Step GDFM–VAR

  • Tahap 1: ekstraksi common factors (GDFM)
  • Tahap 2: VAR pada faktor
    → digunakan untuk analisis siklus dan forecasting.

11.2 GDFM dengan Time-Varying Loadings

Digunakan untuk:

  • perubahan struktur ekonomi,
  • krisis finansial,
  • pandemi.

11.3 GDFM dalam Monetary & Financial Analysis

Digunakan oleh:

  • ECB,
  • Bank of Italy,
  • IMF

untuk:

  • coincident indicator,
  • financial cycle,
  • systemic risk monitoring.