Limit Interaktif | Kelas 64.2A.31 | Matematika Ekonomi

LIMIT

Limit dalam Matematika Ekonomi

Hari ini mahasiswa tidak hanya menghitung limit, tetapi memahami mengapa limit menjadi dasar perubahan marginal, kemiringan kurva, dan penyesuaian ekonomi.

Slide01

Akses Mahasiswa

Masuk dengan NIM dan nama depan

Setiap mahasiswa mendapatkan paket pre-test dan post-test berbeda. Materi berikutnya hanya terbuka jika tes kunci pada materi sebelumnya dijawab benar.

Password adalah nama depan sesuai daftar mahasiswa. Huruf besar/kecil tidak berpengaruh.

Nama–

NIM–

Kelas64.2A.31

Paket–

Target Belajar

Setelah pembelajaran, mahasiswa mampu:

Menjelaskan limit sebagai nilai yang didekati fungsi, bukan sekadar nilai fungsi tepat di satu titik.

Membedakan limit kiri, limit kanan, limit dua sisi, dan kondisi limit tidak ada.

Menghubungkan limit dengan difference quotient, slope, turunan, dan konsep marginal dalam ekonomi.

Menerapkan limit pada fungsi biaya, penerimaan, permintaan-penawaran, dan keseimbangan.

Pre-Test Awal

Pre-test mengukur pemahaman awal. Nilai bukan penghalang utama, tetapi wajib diselesaikan agar mahasiswa siap masuk ke materi.

Slide02

Tes Awal

Instruksi

Kerjakan 8 soal berikut. Setelah submit, sistem akan menampilkan nilai dan pembahasan singkat. Screenshot hasilnya untuk bukti belajar.

Pre-test hanya dapat dikerjakan setelah login. Paket soal berbeda berdasarkan NIM.

Materi 1 — Limit sebagai Nilai yang Didekati

Intuisi utama: limit bertanya “nilai apa yang didekati fungsi ketika variabel mendekati titik tertentu?”

Slide03

Konsep

Limit tidak harus sama dengan nilai fungsi

Notasi \(x\to a\) berarti \(x\) bergerak mendekati \(a\). Yang diamati adalah perilaku \(f(x)\) ketika \(x\) semakin dekat ke \(a\).

\[\lim_{x\to a}f(x)=L\]

Kalimat matematisnya: jika \(x\) mendekati \(a\), maka \(f(x)\) mendekati \(L\).

Contoh ekonomi: ketika harga \(P\) mendekati harga keseimbangan, jumlah permintaan dan penawaran dapat dianalisis melalui nilai yang didekati kurva.

Simulasi

\(f(x)=3x+1,\;x\to 2\)

Geser \(x\)–

Perhatikan: saat \(x\) semakin mendekati 2, nilai \(f(x)\) semakin mendekati 7.

Materi 2 — Limit Kiri, Limit Kanan, dan Keberadaan Limit

Limit dua sisi ada jika fungsi dari arah kiri dan kanan mendekati nilai yang sama.

Slide04

Kriteria

Dua arah harus bertemu

\[\lim_{x\to a}f(x)\text{ ada jika }\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)\]

Limit kiri
\(\lim_{x\to a^-}f(x)\)
x datang dari nilai lebih kecil.

Limit kanan
\(\lim_{x\to a^+}f(x)\)
x datang dari nilai lebih besar.

Limit dua sisi
\(\lim_{x\to a}f(x)\)
ada jika keduanya sama.

Simulasi Satu Sisi

Pilih kasus limit

Kasus Posisi x–

–

Materi 3 — Difference Quotient, Slope, dan Marginal

Inilah inti aplikatif ala Alpha Chiang: perubahan rata-rata menjadi perubahan marginal ketika perubahan variabel dibuat semakin kecil.

Slide05

Ekonomi

Dari biaya rata-rata tambahan ke biaya marginal

Misalkan total biaya \(C=f(Q)\). Ketika output naik sebesar \(\Delta Q\), perubahan biaya rata-rata per tambahan output adalah:

\[\frac{\Delta C}{\Delta Q}=\frac{C(Q+\Delta Q)-C(Q)}{\Delta Q}\]

Jika \(\Delta Q\to0\), garis sekant mendekati garis singgung. Nilai tersebut menjadi dasar konsep biaya marginal:

\[MC=\lim_{\Delta Q\to0}\frac{\Delta C}{\Delta Q}\]

Makna ekonomi: limit membantu membaca perubahan yang sangat kecil pada biaya, penerimaan, utilitas, atau output.

Simulasi Sekant ke Tangen

\(C(Q)=Q^2+10Q+50\)

Q \(\Delta Q\) –

Semakin kecil \(\Delta Q\), kemiringan garis kuning semakin mendekati kemiringan tangen di titik awal.

Materi 4 — Metode Menghitung Limit

Metode dihitung secara logis: mulai dari substitusi, lalu pilih pemfaktoran atau sekawan jika muncul bentuk tak tentu.

Slide06

Substitusi

Langsung jika tidak bermasalah

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

aFungsi

–

Pemfaktoran

Untuk bentuk \(0/0\)

\[\lim_{x\to r}\frac{x^2-r^2}{x-r}=2r\]

–

Sekawan

Untuk bentuk akar

\[\frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\to2\sqrt{a}\]

–

Materi 5 — Kontinuitas dan Diferensiabilitas

Fungsi kontinu berarti tidak terputus. Fungsi terdiferensiasi berarti cukup halus untuk memiliki kemiringan/turunan.

Slide07

Syarat Kontinu

Tiga syarat pada \(x=c\)

\(f(c)\) ada.

\(\lim_{x\to c}f(x)\) ada.

\(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\).

\[\text{Kontinu di }c\Longleftrightarrow \lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]

Kontinu belum tentu terdiferensiasi. Fungsi dengan sudut tajam bisa kontinu, tetapi tidak punya satu slope yang sama dari kiri dan kanan.

Simulasi Kontinu tetapi Tidak Halus

\(y=|x-2|+1\)

Posisi x–

Di \(x=2\), grafik tidak putus, tetapi memiliki sudut tajam. Slope kiri dan kanan berbeda.

Materi 6 — Aplikasi Limit dalam Ekonomi

Limit membantu membaca penyesuaian keseimbangan, perubahan kecil parameter, dan respons fungsi ekonomi.

Slide08

Keseimbangan Pasar

Pajak mendekati nol

Misalkan permintaan dan penawaran:

\[Q_d=100-2P,\qquad Q_s=20+2(P-t)\]

Ketika pajak per unit \(t\to0\), keseimbangan setelah pajak bergerak mendekati keseimbangan awal.

–

Pajak \(t\)–

Intuisi manajerial: semakin kecil guncangan kebijakan, semakin dekat respons pasar ke kondisi awal, selama fungsi pasar kontinu di sekitar titik tersebut.

Simulasi Kurva

Permintaan, penawaran, dan pajak

Titik merah adalah keseimbangan setelah pajak. Saat \(t\) menuju 0, titik merah mendekati titik hijau.

Post-Test dan Pengumpulan

Post-test mengukur pemahaman akhir. Screenshot hasil pre-test dan post-test, gabungkan ke PDF, lalu kumpulkan melalui Google Form.

Slide09

Post-Test

Instruksi

Kerjakan 10 soal. Soal berbeda dari pre-test dan disusun dari konsep yang sudah dibuka melalui tes kunci setiap materi.

Setelah nilai muncul, screenshot hasil post-test. Gabungkan dengan screenshot pre-test menjadi 1 PDF. Upload ke Google Drive, atur akses Anyone with the link can view, lalu tempel link di Google Form.

Buka Google Form Pengumpulan

UBSI Kelas: 64.2A.31 MTK: MATEMATIKA EKONOMI

Limit: Dari Perubahan Rata-Rata ke Analisis Marginal Ekonomi

Materi dibuat seperti slide pembelajaran interaktif. Setiap slide memiliki mini-test 3 kesempatan. Kesalahan tetap dihitung sebagai nilai sesi materi. Nilai akhir menggabungkan pre-test, nilai sesi materi, dan post-test.

🔐 Login Mahasiswa 🎞️ Mulai Slide Materi 📤 Pengumpulan

Akses Mahasiswa

Gunakan nama depan mahasiswa saja. Jika ada nama depan yang sama, pilih nama lengkap yang sesuai agar paket soal tetap unik.

Nama Depan Mahasiswa

Akses cukup menggunakan nama depan mahasiswa. Contoh: NABILLA MARSYA → ketik NABILLA. Jika ada nama depan yang sama, sistem akan menampilkan pilihan nama lengkap.

Identitas Paket

Nama–

NIM–

Kelas64.2A.31

MTKMATEMATIKA EKONOMI

Kode Paket–

StatusAktif

Pre-Test

Nilai pre-test berbobot 25% dari nilai akhir.

10 soal • 10 menit

Kerjakan sebelum membaca slide materi. Screenshot hasilnya untuk bukti pembelajaran.

Pre-Test berjalan
Jawab seluruh soal.

10:00

Slide Materi Interaktif

Setiap slide memiliki mini-test. Mahasiswa harus menjawab, maksimal 3 kesempatan, lalu dapat lanjut.

Slide 1 dari 8 • Intuisi Limit

Limit membaca arah gerak fungsi

Dalam ekonomi, pertanyaan penting bukan hanya “berapa nilai saat ini?”, tetapi “ke mana nilai bergerak ketika variabel mendekati kondisi tertentu?”.

\[\lim_{x\to a} f(x)=L\]

\(x\to a\) berarti \(x\) mendekati \(a\), bukan harus sama persis.

\(f(x)\to L\) berarti nilai fungsi mendekati \(L\).

Limit menjadi dasar perubahan marginal dalam ekonomi.

Simulasi \(f(x)=3x+1\)

Saat \(x\) mendekati 2, \(f(x)\) mendekati 7.

x–

Slide 2 dari 8 • Limit Kiri-Kanan

Limit dua sisi ada jika kiri dan kanan bertemu

Nilai dari arah kiri dan kanan harus menuju angka yang sama.

\[ \lim_{x\to a} f(x)\text{ ada jika } \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x) \]

Jika limit kiri dan kanan berbeda, limit dua sisi tidak ada.

Bandingkan dua sisi

Kasus

Tabel pendekatan sekitar \(x=3\)–

Slide 3 dari 8 • Difference Quotient

Dari perubahan rata-rata ke perubahan sesaat

Limit menjelaskan bagaimana perubahan rata-rata berubah menjadi perubahan sesaat.

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

\[ \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Sekant menjadi singgung

Kecilkan \(\Delta x\). Garis sekant mendekati garis singgung.

\(\Delta x\)–

Slide 4 dari 8 • Biaya Marginal

Marginal Cost adalah limit dari \(\Delta C/\Delta Q\)

Jika \(C=f(Q)\), perubahan rata-rata biaya menjadi biaya marginal ketika \(\Delta Q\) mendekati nol.

\[ MC=\lim_{\Delta Q\to0}\frac{C(Q+\Delta Q)-C(Q)}{\Delta Q} \]

Ini jembatan dari limit menuju diferensial dan analisis marginal.

Biaya total \(C(Q)=Q^2+10Q+50\)

Q\(\Delta Q\)

–

Slide 5 dari 8 • Evaluasi Limit

Untuk polinomial, limit dapat disubstitusi

Jika fungsi polinomial terdefinisi di titik tersebut, limit sama dengan nilai fungsi.

\[\lim_{x\to a}P(x)=P(a)\]

Kalkulator polinomial

ABCx→

Slide 6 dari 8 • Bentuk \(0/0\)

\(0/0\) berarti bentuk tak tentu, bukan jawaban akhir

Banyak kasus \(0/0\) dapat diselesaikan dengan pemfaktoran.

\[ \lim_{x\to r}\frac{x^2-r^2}{x-r}=\lim_{x\to r}(x+r)=2r \]

Simulasi lubang fungsi

Slide 7 dari 8 • Kontinuitas

Kontinu berarti limit dan nilai fungsi bertemu

Fungsi kontinu di titik \(N\) jika nilai fungsi ada, limit ada, dan keduanya sama.

\[\lim_{x\to N}f(x)=f(N)\]

\(f(N)\) terdefinisi.

\(\lim_{x\to N}f(x)\) ada.

Nilai limit sama dengan nilai fungsi.

Rasional dan asimtot

Asimtot di x =

Slide 8 dari 8 • Aplikasi Ekonomi

Limit membaca dampak perubahan kebijakan kecil

Jika pajak per unit \(t\) mendekati nol, titik keseimbangan setelah pajak mendekati keseimbangan awal.

\[Q_d=A-bP,\quad Q_s=C+d(P-t)\]

\[\lim_{t\to0}P^*(t)=P^*(0)\]

Keseimbangan pasar

Pajak \(t\)–

Jawab mini-test untuk membuka slide berikutnya.

Slide Selesai0/8

Total Kesalahan0

Nilai Sesi0

Bobot Akhir35%

Post-Test

Nilai post-test berbobot 40% dari nilai akhir.

10 soal • 15 menit

Kerjakan setelah seluruh slide materi selesai. Screenshot hasilnya.

Post-Test berjalan
Pastikan slide materi sudah dipelajari.

15:00

Nilai Akhir

Nilai akhir = Pre-Test 25% + Sesi Materi 35% + Post-Test 40%.

Rekap Otomatis

NamaBelum login

NIM–

Kelas64.2A.31

MTKMATEMATIKA EKONOMI

Pre-Test × 25%0

Sesi Materi × 35%0

Post-Test × 40%0

Total Kesalahan Sesi0

Nilai Akhir

Pengumpulan

Gabungkan hasil pre-test, sesi materi, post-test, dan nilai akhir menjadi satu PDF.

Bukti yang dikumpulkan

Screenshot hasil pre-test.

Screenshot nilai sesi materi.

Screenshot hasil post-test.

Screenshot nilai akhir.

Google Form

Upload PDF ke Google Drive, atur akses Anyone with the link can view, lalu tempelkan link di form.

📤 Buka Form Pengumpulan

File dengan akses tertutup dianggap belum valid sampai diperbaiki.